一、映射和函数

1、邻域和去心邻域

邻域：在数轴上，以x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作：

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2、映射的见识和类型

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映射分为以下类型：

单射：鸠合X中的狂放不十分的元素，它们的像也不疏导；

满射：鸠合Y中狂放元素都是鸠合X中的某元素的像；

双射：既是单射亦然满射的映射，又称为逐个映射。

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2、函数的界说

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函数的暗意范例：函数不错使用表格法、图像法妥协析法暗意。

函数十分：两个函数的界说域和对应关系都疏导，则两个函数十分。

当然界说函数的界说域：一般受到偶次根式、分母、对数的真数、反三角函数、三角函数的影响，因此，熟记基本初等函数的界说域是解决问题的关节。

函数的值域：左证界说域和对应关系，笃定y的取值规模。要是是分段函数，将每段函数的值域取并集。

例题：求函数界说域

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例题：判断函数是否十分

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例题：求函数的值域

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3、反函数

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函数和其反函数之间有如下关系：

①二者具有疏导的单调性。

②二者具有疏导的接洽性。

③二者的图像对于直线y=x对称。

④反函数的值域是胜利函数的界说域。

⑤反函数的导数即是其胜利函数导数的倒数。

求函数y=f(x)的反函数的范例：

①反解：将x当成未知数，求出其对于y的抒发式；

②交换：交换x和y的位置；

③界说域：求出反函数的界说域（或求原本函数）

例题：求函数的反函数

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4、复合函数

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复合函数的界说域：左证外函数的当然界说域取值规模，笃定内函数的值域；再左证内函数的值域，求得反函数的真确界说域。换言之，复合函数的界说域是里面函数界说域的一个子集。

复合函数的复合样貌：通过换元法，找准函数的复合样貌。这在复合函数导数和不定积分换元法时会用到。

例题：复合函数的拆分

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例题：求复合函数的界说域

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5、函数的四则运算

函数的四则运算必须保证两个函数的界说域的错杂不为空集，况兼在界说域错杂上才调进行如下运算：

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商可能改革两个原本函数的行家界说域。

二、函数的性态

1、有界性

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例题：解说底下的函数是有界函数。

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2、奇偶性

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奇偶函数的判定范例：

①判断界说域是否对于原点对称；

②将x一都替换为-x，通过野心不雅察是否满足界说，要是满足则按界说判定；不然，就短长奇非偶函数。

例题：判定底下的函数是奇函数还是偶函数？

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例题：解说两个奇函数的和是奇函数。

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3、周期性

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频繁，咱们熟习的三角函数都是周期函数，况兼有：

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的最小正周期

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不是每一个函数都有最小正周期，举例狄利克雷函数：

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例题：野心底下函数的最小正周期。

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4、单调性

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这是单调性的原始界说，解说函数单调性不错借助一阶导数。

5、落魄性

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函数图像的落魄性和二阶导数胜利关系，不错借助二阶导数判断函数的落魄性。

三、函数接洽性过火性质

1、函数的接洽性界说和判定

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因此，函数在某点接洽的充分必要条款是函数在该点的极限值即是函数值。

例题：a和b为何值时，底下的函数接洽。

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2、初等函数的接洽性

基本初等函数在它们的界说域内接洽

一切初等函数在界说域区间内接洽

3、接洽函数在闭区间上的性质

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例题：解说下列命题

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例题：解说下列命题

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四、函数的终止点和渐近线

1、函数终止点类型过火判定

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例题：判断下列函数指定点的终止点类型。

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2、函数弧线的渐进线

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例题：求下列函数的渐近线。

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五、基本初等函数和初等函数

基本初等函数包括：幂函数、对数函数、指数函数、三角函数和反三角函数共5类。基本初等函数的抒发式、图形和性质是高级数学中的基础内容，下表进行了瞩目归纳（点击图片放大，可看高清图）。

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（图片起头：张天德等《经济数学微积分》）

初等函数：常数和基本初等函数过程有限次四则运算和有限次复合运算组成的并不错用一个式子暗意的函数。

六、常用的经济函数

1、需乞降供给函数

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例题：求平衡价钱。

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2、资本、收益和利润函数

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例题：完成下题。

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七、函数的贯通

函数是一个神奇的见识，它通过将某个事物过程某种变换从而得到另一个后果，这在实践中短长常灵验的一个见识。举例，中语和英文的单词存在着某种对应的关系，找到这么的一个函数就能结束中语到英文的翻译；反之，找到这个函数的反函数就不错得到英文到中语的翻译范例。

再如，鸢尾花分类问题中，将鸢尾花的多样特征使用如下函数暗意：

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通过已知数据覆按获取其中的参数ai，就能结束一个通俗的判别数学模子。

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